Logarit và Số phức

Khi nói đến logarit, chúng ta thường nghĩ đến các số thực dương. Tuy nhiên, khái niệm logarit có thể được mở rộng sang cả số phức, một lĩnh vực thú vị và phức tạp của toán học. Việc mở rộng này đòi hỏi một cách tiếp cận khác biệt so với logarit của số thực, chủ yếu là do đặc tính tuần hoàn của hàm mũ phức.

1. Hàm Mũ Phức
Để hiểu logarit của số phức, trước tiên ta cần nhắc lại về hàm mũ phức. Hàm mũ phức được định nghĩa bằng công thức Euler: $eiθ=cosθ+isinθ$Từ đó, một số phức z bất kỳ (khác 0) có thể được biểu diễn dưới dạng mũ:z=reiθ Trong đó:

• r=∣z∣ là môđun của z (khoảng cách từ gốc tọa độ đến z trong mặt phẳng phức), r>0.
• θ=arg(z) là acgumen của z (góc tạo bởi vector từ gốc đến z và trục hoành dương), đơn vị là radian.

Vì hàm số cosθ và sinθ là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, nên acgumen θ của một số phức không phải là duy nhất. Ta có thể viết θ dưới dạng: θ=θ0+2kπ với θ0 là giá trị chính của acgumen (thường trong khoảng (−π,π] hoặc [0,2π)) và k là một số nguyên bất kỳ (k∈Z).

Do đó, một số phức z có thể được viết là: z=rei(θ0+2kπ)

2. Định nghĩa Logarit của Số phức
Logarit tự nhiên của một số phức z (khác 0) được định nghĩa là phép toán ngược của hàm mũ phức. Tức là, nếu ew=z, thì w=lnz.

Giả sử z=rei(θ0+2kπ). Để tìm lnz, ta cần tìm w=x+iy sao cho ex+iy=rei(θ0+2kπ). ex+iy=ex⋅eiy=ex(cosy+isiny).

So sánh các vế, ta có:

• ex=r⟹x=lnr (logarit tự nhiên của một số thực dương).
• y=θ0+2kπ.

Vậy, logarit tự nhiên của một số phức z=reiθ được định nghĩa là: $lnz=ln∣z∣+iarg(z)Haycụthểhơn:lnz=lnr+i(θ0+2kπ)$ với k∈Z.

Điều này có nghĩa là logarit của một số phức không phải là một giá trị duy nhất, mà là một hàm đa trị. Mỗi giá trị của k sẽ cho ra một giá trị khác nhau của lnz.

Ví dụ: Tìm ln(i)

• Số phức i có môđun r=∣i∣=1.
• Acgumen của i là 2π (vì i nằm trên trục ảo dương). Vậy, θ0=2π. Áp dụng công thức: $ln(i)=ln1+i(2π+2kπ)$Vì ln1=0, ta có:ln(i)=i(2π+2kπ) Với k=0, ln(i)=i2π. Với k=1, ln(i)=i25π. Và cứ thế.

3. Giá trị chính của Logarit (Principal Value)
Để có một giá trị duy nhất cho logarit của số phức, người ta định nghĩa giá trị chính (principal value) của logarit. Giá trị chính này được ký hiệu là Ln z (với chữ L hoa) và được xác định bằng cách chọn giá trị chính của acgumen, thường là θ0∈(−π,π] (hoặc [0,2π) tùy theo quy ước).

Khi đó, giá trị chính của lnz là: Ln z=ln∣z∣+iArg(z) Trong đó Arg(z) là giá trị chính của acgumen, thường lấy trong khoảng (−π,π].

Ví dụ: Giá trị chính của ln(i) là Ln(i)=i2π (khi k=0).

4. Tính chất của Logarit Số phức
Các tính chất quen thuộc của logarit số thực vẫn có thể được mở rộng cho logarit số phức, nhưng cần phải cẩn thận với tính đa trị:

• Logarit của tích: ln(z1z2)=lnz1+lnz2
  • Lưu ý rằng đây là đẳng thức giữa các tập hợp giá trị. Tức là, tổng của một giá trị từ lnz1 và một giá trị từ lnz2 sẽ là một giá trị từ ln(z1z2).
• Logarit của thương: ln(z2z1)=lnz1−lnz2
• Logarit của lũy thừa: ln(zn)=nlnz (với n là số nguyên).
  • Tuy nhiên, ln(za)=alnz có thể không đúng nếu a không phải là số nguyên, do tính đa trị. Cần thận trọng khi sử dụng.

5. Mối liên hệ với Hàm mũ phức
Mối liên hệ elnz=z và ln(ew)=w vẫn đúng, nhưng cần hiểu theo nghĩa của tập hợp giá trị do tính đa trị.

Ví dụ: ln(eiπ)=ln(−1). Ta có eiπ=−1. ln(−1)=ln∣−1∣+i(π+2kπ)=0+i(π+2kπ)=i(π+2kπ). Nếu ta chỉ lấy giá trị chính, Ln(−1)=iπ.

6. Logarit cơ số khác của Số phức
Tương tự như logarit số thực, ta có thể định nghĩa logarit cơ số a của z (với a,z là số phức): logaz=lnalnz Với điều kiện a=0,a=1. Công thức này cũng sẽ là một hàm đa trị.

Tóm lại
Việc mở rộng logarit sang số phức làm tăng thêm độ phức tạp do tính chất tuần hoàn của acgumen. Điều này dẫn đến logarit của một số phức là một hàm đa trị. Khái niệm giá trị chính được sử dụng để xác định một giá trị duy nhất khi cần thiết. Logarit số phức là một công cụ quan trọng trong giải tích phức và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và vật lý.